为什么计算机使用补码？原码、反码的局限性

在计算机系统中，数值的表示方式是基础而关键的设计。早期的计算机科学家们面临一个重要问题：如何有效地表示和处理有符号整数？经过多次探索和实践，补码(Two's Complement)表示法最终成为现代计算机系统的标准。本文将详细分析原码、反码的局限性，并解释为什么补码成为最优解决方案。

原码表示法及其局限性

原码(Sign-Magnitude)是最直观的有符号数表示方法。它使用最高位作为符号位(0 表示正数，1 表示负数)，其余位表示数值的绝对值。例如，在 8 位系统中：

+5 的原码表示为 00000101
-5 的原码表示为 10000101

实例1：原码的加减法问题

  00000101 (+5)
+ 10000101 (-5)
= 10001010 (-10)  // 实际应为 0

✅ 原码的主要问题在于：

• 存在 +0(00000000) 和 -0(10000000) 两种零表示，浪费编码空间
• 加减法运算复杂，需要区分符号位和数值部分
• 硬件实现电路复杂，效率低下

反码表示法及其改进与局限

反码(Ones' Complement)是对原码的改进：正数的反码与原码相同，负数的反码是对其绝对值的原码按位取反。说白了，就是负数取了反码，正数没变。例如，在 8 位系统中：

+5 的反码：00000101
-5 的反码：11111010

实例2：反码的加减法

  00000101 (+5)
+ 11111010 (-5)
= 11111111 (-0)  // 结果正确，但仍存在 -0

✅ 反码解决了原码的部分问题：

• 减法可以转换为加法运算
• 硬件实现比原码简单

✅ 但仍存在关键缺陷：

• 仍然存在 +0(00000000) 和 -0(11111111) 的问题
• 跨零点的加减法需要额外处理进位

补码的完美解决方案

补码(Two's Complement)彻底解决了上述问题。补码的定义：正数的补码与原码相同，负数的补码是其反码加 1

+5 的补码：00000101
-5 的补码：11111011

实例3：补码的加减法

  00000101 (+5)
+ 11111011 (-5)
= 00000000 (0)  // 结果正确且唯一

✅ 补码的优势：

• 零的唯一表示(00000000)
• 加减法统一处理，无需特殊逻辑
• 硬件实现最简单高效
• 表示范围对称：-2^(n-1)到2^(n-1)-1

实例4：补码的溢出检测

  01111111 (+127)
+ 00000001 (+1)
= 10000000 (-128)  // 溢出，符号位改变

补码表示法因其数学上的优雅性和硬件实现的高效性，成为计算机系统中整数表示和位运算（如：Java 位运算符）的事实标准。它完美解决了原码和反码存在的零表示不唯一、运算复杂等问题。